Problem nadprodukcji – matematyczna optymalizacja poziomu produkcji w cukierni

Oryginał publikacji

czerwiec 2021 · Przegląd Piekarski i Cukierniczy, nr 6

3 str. · PDF

Odwiecznym problemem piekarzy i cukierników jest to, ile wyprodukować, żeby nie trzeba było potem wyrzucać. W cukierni liczy się wyłącznie towar zrobiony dziś — wczorajszy asortyment idzie na zwrot albo schodzi za najwyżej połowę ceny. Cukiernik zbyt ostrożny upiecze za mało i zarobi mniej, niż mógł, a do tego dochodzi koszt niezadowolenia klientów, którzy w przyszłości mogą znaleźć lokal, gdzie ich ulubione ciastko jest zawsze dostępne. Cukiernik ryzykant upiecze za dużo i będzie musiał nadwyżkę przecenić lub zutylizować, co również demoralizuje klientów — część wstrzyma się z zakupem dziś, żeby kupić taniej jutro.

Data scientist w piekarni

awe

Odwiecznym problemem piekarzy i cukierników jest to, ile wyprodukować, żeby potem nie wyrzucać. Wiadomo, że w cukierni liczą się tylko wyroby wyprodukowane dzisiaj. Asortyment wczorajszy jest oddawany na zwroty lub sprzedawany za co najwyżej połowę wcześniejszej wartości. Jeżeli cukiernik jest zbyt zapobiegliwy, wypiecze zbyt małą ilość ciast, nie zarobi tyle, ile mógłby zarobić, gdyby zaryzykował i wypiekł więcej. Dodatkowym kosztem jest poziom niezadowolenia i rozczarowanie klientów. W przyszłości mogą oni znaleźć inną cukiernię, w której ich ulubione ciasto będzie zawsze dostępne.

Z kolei cukiernik ryzykant wypiecze zbyt dużo ciast i będzie musiał je potem wyprzedawać lub utylizować. Taka sytuacja również demoralizuje klientów. Pojawią się tacy, którzy nie kupią ciasta dzisiaj, aby jutro kupić je taniej.

Idealnie by było produkować tyle ciasta, aby starczyło dla wszystkich i nic się nie zmarnowało.

Machine learning przybywa na ratunek

Aby poradzić sobie z problemem, wystarczy zbudować model regresji liniowej oparty na danych pogodowych, dniach tygodnia, porze roku oraz innych zmiennych opisujących. Wynikiem będzie prognoza popytu na ciasta w danym dniu. Zazwyczaj w przypadku stabilnej sprzedaży prognozy regresyjne są wystarczająco skuteczne. Potrafią przewidzieć wielkość przyszłej sprzedaży na poziomie od r = 85 do 95%. Ten tajemniczy r to tzw. współczynnik determinacji, określający poziom dopasowania prognozy do stanu faktycznego. Model na poziomie r = 87% myliłby się o 13% w obie strony.

Budowanie takich prognoz to oczywiście praca dla specjalisty, który najczęściej przy takim zleceniu uruchamia wszystkie znane mu i dostępne modele regresji, łącznie z konwolucyjnymi sieciami neuronowymi. Jest to duże przedsięwzięcie, w tym wypadku zupełnie nie uzasadnione. Przypomina to strzelanie do much z armaty.

Budowanie modeli ma sens, jeżeli jest odpowiednia skala przedsięwzięcia. Taka skala to na przykład poziom sprzedaży we wszystkich dniach następnych dwóch miesięcy dla kilkudziesięciu wyrobów w kilkunastu lo- <alizacjach. Taki model byłby na stałe „zaszyty” w systemie zarządzania produkcją i generowałby gotowe ziecenia produkcyjne z przyporządkowaniem konkretnych lokalizacji sprzedażowych. Można by go rozbudować o kolejne funkcjonalności, na przykład prognozy ala godzin sprzedaży, co pozwalałoby dostarczać pieczywo w optymalnej ilości na drugą zmianę.

roblem nadprodukcji - matematyczna optymalizacja poziomu produkcji w cukierni —.

Co ma zrobić cukiernik, który wszystko liczy w zeszycie?

Rozwiązania z zakresu machine learning są drogie i w małej skali mogą okazać się nieopłacalne. Stara prawda mówi, że aby przewidzieć coś w przyszłości, należy posłużyć się zapiskami z przeszłości.

Wyobraźmy sobie cukiernika, który zapisuje w zeszycie, ile ciast sprzedał każdego dnia. Załóżmy, że jutro jest zwykły czwartek. Cukiernik otwiera swój zeszyt i ogląda poziom sprzedaży z ostatnich 35 zwykłych czwartków. Następnie przepisuje dane do arkusza kalkulacyjnego. Poniżej znajduje się podsumowanie ostatniej sprzedaży. W pierwszej kolumnie jest liczba sprzedanych ciast. W drugiej widzimy, ile razy miała miejsce taka sprzedaż w ciągu analizowanych 35 dni.

Na przykład poziom sprzedaży 51 ciast cukiernik osiągnął w czterech różnych dniach w analizowanym okresie 35 dni. Tabela 1. Rozkład ilości sprzedaży ciast w okresie 35 dni

ZE ZE + | Ile sztuk ciasta sprzedano? | Ile razy tak było? | +

Następnie cukiernik rozszerzył swoją tabelkę o dwie kolejne kolumny: „Prawdopodobieństwo” i „Skumulowane prawdopodobieństwo”.

Tabela 2. Rozkład prawdopodobieństwa sprzedaży ciast w okresie 35 dni

Obliczenia do tych kolumn są bardzo proste. Jeżeli cukiernik sprzedał 3 razy w ciągu 35 dni 50 sztuk ciast (pierwszy wiersz w tabeli) to prawdopodobieństwo takiego poziomu sprzedaży oblicza się jako: 3/35 = 0,086.

Z kolei „Skumulowane prawdopodobieństwo” to tylko suma kolejnych prawdopodobieństw, czyli dla sprzedaży

Następny wzór jest tylko iloczynem wszystkich możliwych zysków z wielkości produkcji i wielkości sprzedaży oraz ich prawdopodobieństwa. Aby podjąć optymalną decyzję, należy wybrać największą wartość wektora d(k) opisanego wzorem (3).

52 sztuk ciasta będzie to: 0,086 + 0,114 + 0,057 = 0,257. N

Cukiernik zajrzał również do zapisanych w zeszycie

kosztów produkcji i cen sprzedaży. jednostkowy koszt produkcji ciastka: jednostkowa cena sprzedaży ciastka: jednostkowa cena sprzedaży ciastka po terminie:

Łatwo policzyć, że zysk z dziennej sprzedaży wyrobów

to przychody ze sprzedaży wyrobów pełnowartościowych oraz niepełnowartościowych pomniejszony o koszty produkcji sprzedanych wyrobów.

Jeśli więc cukiernik wyprodukował 60 ciast, a sprzedał 50, to uzyskał zysk 500 zł.

500 = (50 x 25) + (10 x 9) — (60 x 14) A gdyby wyprodukował 50 ciast mniej, zarobiłby o 50 zł więcej. 550 = (50 x 25) — (50 x 14) Aby zoptymalizować poziom produk- cji, należy najpierw zapisać najprostsze zasady w postaci nierówności.

d(k) = ), g(k,p) xps) | Ó p=n c,=1l4zł C,=25zł Nasz cukiernik przepisał wzór (2) w formie c,=9zł funkcji arkusza kalkulacyjnego. Skopiował ją i wkleił do komórek poniższej tabeli.

Tabela 3. Tabela zysku według wariantów produkcji i sprzedaży

5a 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 dl 58 558 550 550 550 556 550 550 550 550 550 550 | 550 51 545 561 561 561 561 561 561 561 561 561 561 | 559.6 52 540 556 572 572 572 572 572 572 572 572 572 | 567.4 53 535 551 567 583 583 583 583 583 583 583 583 | 574.3 54 530 546 562 578 594 594 594 594 594 594 594 | 579.8 55 525 541 557 573 589 605 605 605 605 605 605 | 583.9 56 520 536 552 568 584 600 616 616 616 616 616 | 585.8 57 515 531 547 563 579 595 611 627 627 627 627 | 586.3 58 510 526 542 558 574 599 606 622 638 638 638 | 584.9 59 505 521 537 553 569 585 601 617 633 649 649 | 582.2 60 508 516 532 548 564 580 596 612 628 644 668 | 578.1

Gz 0j > C7

(cz —cj)=z, zysk ze sprzedaży (1)

(ci —c3)=s, strata z tytułu wyprzedaży

c, jednostkowy koszt produkcji c, jednostkowa cena sprzedaży

c, jednostkowa cena sprzedaży wyprzedażowej

W naszym przykładzie zysk ze sprzedaży ciasta to różnica między kosztem produkcji a ceną sprzedaży: 25zł-14zł=11 zł.

Stratę jednostkową można natomiast zapisać w postaci: 14zł-9zł=5zł

Wszystko więc zależy od tego, czy cukiernik wyprodukował więcej ciast (ilość wyprodukowana k) niż był na nie popyt (ilość sprzedana p).

Gdy cukiernik wyprodukował za mało ciast k, zabrakłoby ich dla wszystkich klientów p, czyli p>k.

Relacje pomiędzy popytem a podażą można zapisać prostym wzorem, gdzie „z” to zysk jednostkowy, „s” — strata jednostkowa opisana we wzorze (1).

(ZX p) — (SX (k —p)), ifp<k g(k, p) =

zxXk,

ifp>k

W główce tabeli (kolumny tabeli) wpisana jest liczba sprzedanych ciast od 50 do 60 sztuk, w boczku tabeli (wiersze tabeli) wpisana jest liczba produkcji ciast od 50 do 60 sztuk.

Wnętrze tabeli wypełnione jest obliczeniami zysku na sprzedaży. Tak więc zgodnie ze wzorem (2), gdy wyprodukowano 54 ciasta (piąty wiersz) i udało się sprzedać 50 ciast (pierwsza kolumna) zysk z działalności wyniósł 530 zł. Jak zostało to policzone?

530 = (50 x 25) + (4 x 9) — (54 x 14)

W powyższym wzorze jak pamiętamy 25 zł to cena sprzedaży ciasta, 9 zł to cena przecenionego ciasta, a 14 zł to techniczny koszt wytworzenia ciasta. Cukiernik wyprodukował 54 ciasta, z czego sprzedał 50, a 4 musiał przecenić.

Ile należy wyprodukować ciast, aby zarobić jak najwięcej?

Nie trudno zauważyć, że zarobimy tym więcej, im więcej sprzedamy. Z drugiej strony nadprodukcja powoduje spadek zysku. Innymi słowy, każde nadmiarowo wyprodukowane ciasto obniża nasz dzienny zysk.

Aby znaleźć optymalny poziom produkcji, na-

=zy wykorzystać rozkład prawdopodobieństwa

zawarty w tabeli 2. Jeżeli więc pomnożymy prawdopodobieństwo wielkości sprzedaży przez zysk

z każdego wariantu produkcji i sprzedaży z tabeli 3,

otrzymamy tabelę 4.

paz 4. Zysk skorygowany o prawdopodobieństwo sprzedaży

38 51

d(k)

«34 | 62.86

31.43

47.14

78.57

47.14

62.86

47.14

31.43 4©.71 | 64.11

32.06

48.09

89.14

48.09

64.11

48.09

32.06

559.629 «29 | 63.54

32.69

49.03

81.71

49.03

65.37

49.03

32.69

567.429 45.86 | 62.97

32.4

49.97

83.29

49.97

66.63

49.97

33.31

574.314 45.43 | 62.4

32.11

49.54

50.91

84.86

56.91

67.89

50.91

59.91

33.94

579.829 <; 61.83

31.83

49.11

50.49

86.43

51.86

69.14

51.86

34.57

583.971 «4.3 61.26

31.54

48.69

50.06

85.71

52.8

585.829 «4.14 | 68.69

31.26

48.26

49.63

52.37

71.66

53.74

35.83

586.314 8.71 | 66.11

30.97

47.83

84.29

51.94

71.69

54.69

36.46

584.971 8.23 | 59.54

30.69

47.4

48.77

83.57

51.51

70.51

54.26

55.63

37.09

582.257 <€2.86 | 58.97

46.97

48.34

82.86

51.09

69.94

53.83

55.2

37.71

578.171

Tak więc używając wzoru (3), gdy udało się sprzedać 50 ciast (pierwsza kolumna), a wyprodu- «owano 54 ciasta (piąty wiersz), zysk z działalności wynosi 530 zł.

Wartość tę mnożymy przez wartość prawdopodobieństwa sprzedaży 50 ciast, którą znajdziemy w tabeli 2.

wzór (3).

45,428573 = 530 x 0,08571429

Suma wszystkich prawdopodobieństw wiersza daje nam wartość w ostatniej kolumnie tabeli 4 oznaczonej jako d(k). Wartość tę opisuje również

Naszym zadaniem jest teraz znalezienie najwyż-

=) wartości w kolumnie d(k). Okazuje się, że biorąc

od uwagę zysk ze sprzedaży i stratę z nadproduk- ' oraz prawdopodobieństwo tej konfiguracji, naj-

Czy warto?

Przedstawiona metoda jest chyba najprostszą mozżliiwą do przeprowadzenia optymalizacją mate-

z «» prawdopodobieństwem.

Przedstawiony sposób może być bardzo łatwo "orowadzony do arkusza kalkulacyjnego, dzięki cze- 7 może służyć do optymalizacji wielkości produkcji

zardziej opłaca się produkować 57 ciast. Wartość

tyczną. Każdy kto chce zmaksymalizować swój « musi prędzej czy później spotkać się z kocznością kalkulacji strat i zysków w zestawieniu

Wojciech Moszczyński

.% A «ia

KOMPLET

Gofry

100% mieszanka do przygotowywania chrupiących gofrów, racuchów i naleśników.